Zu diesem Buch 15

Konventionen in diesem Buch 16

Was Sie nicht lesen müssen 16

Törichte Annahmen über den Leser 16

Wie dieses Buch aufgebaut ist 16

Teil I: Grundlagen der linearen Algebra 17

Teil II: Landschaftserkundung zur linearen Algebra 17

Teil III: Lineare Algebra for Runaway Dummies 18

Teil IV: Top Ten Teil 18

Symbole in diesem Buch 18

Wie es weitergeht 19

Teil I Grundlagen der Algebra 21

Kapitel 1 Die bunte Welt der linearen Algebra 23

Dafür braucht man lineare Algebra 24

Systeme von Gleichungen lösen 25

Geometrische Rätsel knacken 26

Die Bausteine der linearen Algebra erkennen 28

Körper und Vektorräume 28

Sinnvolle Verknüpfungen von Vektoren 28

Die Werte in Reih und Glied bringen 29

Matrizen und ihre Verknüpfungen 32

Determinanten 34

Alles in einen linearen Zusammenhang bringen 35

Lineare Abbildungen 35

Kapitel 2 Körper und andere Welten 39

Verkündigung der Körpergesetze 39

Der Begriff des »Körpers« 39

Das Assoziativgesetz 41

Das Kommutativgesetz 45

Das neutrale Element 48

Inverse Elemente 49

Das Distributivgesetz 51

Die Algebraische Struktur der Körper 52

Endlich unendliche Körper 54

Der kleinste Körper 54

Die klassischen Zahlkörper 56

Na so was: die Restklassenkörper 57

Kapitel 3 Wen Amors Vektor trifft 61

Woher die Vektoren kommen 61

Erweitern Sie Ihren Horizont um n Dimensionen 62

Grundlegende Vektoroperationen 64

Addition und Subtraktion von Vektoren 65

Skalare Multiplikation von Vektoren 67

Das Skalarprodukt von Vektoren 68

Die Norm eines Vektors 70

Das Vektorprodukt 73

Der Winkel zwischen Vektoren 74

Diese Vektoren sind nicht normal 77

Jetzt wird es eng: der n-Raum 78

Der Euklidische n-Raum 79

Der komplexe n-Raum 81

Warum das alles kein Unsinn ist 82

Die größten Irrtümer der Naturwissenschaften 82

Arbeit und Kraft 83

Das Drehmoment 84

Tricks mit Vektoren 86

Der Kosinussatz 86

Teil II Landschaftserkundung zur linearen Algebra 89

Kapitel 4 Vektorräume mit Aussicht 91

Räume voller Vektoren 91

Vektorraumoperationen 92

Addition von Vektoren 93

Skalare Multiplikation 93

Vektorraumeigenschaften 95

Massenhaft Beispiele für Vektorräume 96

Vektorräume aus n-Tupeln 96

Vektorräume aus Polynomen 97

Vektorräume aus Matrizen 99

Vektorräume von Folgen und Funktionen 100

Vektorräume aus linearen Abbildungen 102

Vektorräume aus Körpern 103

Unterräume aber nicht im Kellergeschoss 104

Die formale Spezifikation der Unterräume 104

Eine Abkürzung zu den Unterräumen 106

Aufräumen in den Unterräumen 107

Summen von Unterräumen 111

Direkte Summen von Unterräumen 113

Kapitel 5 LGS Auf lineare Steine können Sie bauen 117

Wie lineare Gleichungssysteme entstehen 117

Darstellungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme 121

Die Quadratische Form 122

Die Stufenform 124

Die Idealform 125

Prinzipielle Lösungsmengen von LGSen 127

Eindeutige Lösung 128

Freie Parameter in der Lösung 128

Keine Lösungen 131

Das Gaußsche Eliminationsverfahren zur Lösung von LGSen 131

Carl Friedrich Gauß 132

Der Gauß-Jordan-Algorithmus 136

Lösung eines LGS über die erweiterte Koeffizientenmatrix 138

So geht es auch: LR-Zerlegung nach Gauß 140

Determinanten zur Bestimmung von Lösungen 143

Lösung â la Cramer& Cramer 144

Inverse Matrizen zur Lösung einer Matrizengleichung 145

Parametrisierte LGS 146

Kapitel 6 Die Matrix ist überall 155

Wie eine Matrix das Leben erleichtert 155

Lineare Gleichungssysteme als Matrizen darstellen 156

Grundlegende Matrixoperationen 158

Addition von Matrizen 158

Skalare Multiplikation von Matrizen 159

Matrix-Vektorprodukt 161

Matrixmultiplikation 162

Transposition von Matrizen 165

Der Rang einer Matrix 166

Attribute von Matrizen 168

Quadratische Matrizen 168

Reguläre Matrizen 170

Idempotente Matrizen 171

Diagonalmatrizen 172

Adjungierte von Matrizen bestimmen 173

Komplementäre Matrizen erzeugen 174

Matrizen invertieren 176

Mittels Determinanten und Adjunkten 177

Mittels Gauß-Jordan-Algorithmus 177

Der Matrix auf der Spur 179

Teil III Lineare Algebra for Runaway Dummies 181

Kapitel 7 Die lineare Unabhängigkeitserklärung 183

Wir kombinieren linear 183

Warum unabhängig besser ist als abhängig 185

Bestimmung der linearen Unabhängigkeit 186

Bei n-Tupel-Vektoren 187

Bei Polynomen 190

Bei Matrizen 191

Im Allgemeinen 194

Fallstricke der linearen Unabhängigkeit 198

Kapitel 8 Basen, keine lästige Verwandtschaft 201

Auf dieser Basis beruht unsere Arbeit 201

Erzeugende Systeme 206

Lineare Hüllen als Unterräume 207

Lineare Unabhängigkeit von Basisvektoren 209

Erzeugte Unterräume 210

Matrizen und Basen: So geht das! 214

Dimensionen und Basisvektoren 215

Jetzt haben Sie endlich die Koordinaten 216

Basen für Orthonormal-Verbraucher 217

Kapitel 9 Ganz bestimmte Determinanten 219

Warum Determinanten wichtig sind 219

Was Permutationen mit Determinanten zu tun haben 221

Berechnung von Determinanten 222

Determinanten von 2×2-Matrizen 222

Determinanten mit der Regel von Sarrus berechnen 224

Berechnung von Determinanten im Allgemeinen 227

Rechenregeln für Determinanten 228

Wie sich die Transpositionen auf Determinanten auswirken 229

Diagonalmatrizen sind die besten Freunde von Determinanten 229

Die Determinate der Einheitsmatrix 230

Skalare Multiplikation und Determinanten 230

Determinanten und der Zeilentausch/Spaltentausch 231

Leibniz trifft auf Gauß 232

Determinantenberechnung für Dreiecksmatrizen 233

Zusammenhang zwischen Determinante und Invertierbarkeit einer Matrix 233

Unterdeterminanten 234

Rekursion 234

Der Entwicklungssatz 236

Teil IV Top Ten Teil 239

Kapitel 10 Lineare Algebra in zehn Minuten 241

Linearität verstehen und keine Angst vor Algebra haben 241

Den Körper als Freund betrachten 241

Mit diesen Vektoren können Sie rechnen 241

Räume voller Vektoren 242

Gleichungssysteme mit geometrischen Objekten identifizieren 242

LGSe mit unterschiedlichen Methoden lösen 242

Keiner entkommt der Matrix 242

Noch unabhängiger als die Schweiz 243

Neues Verständnis von Koordinaten 243

Determinanten sind das Herz einer Matrix 243

Stichwortverzeichnis 245